题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线与x轴交于两点、，与y轴交于点C，AB=6．
（1）求抛物线和直线BC的解析式．
（2）在给定的直角坐标系中，画出抛物线和直线BC．
（3）若⊙P过A、B、C三点，求⊙P的半径．
（4）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使被直线BC分成面积比为的两部
分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）由题意得： 
 解得 
经检验m=1，∴抛物线的解析式为：
（或：由得，或
m.>0， 抛物线的解析式为 
由得 ∴A（-5，0），B（1，0），C（0，-5）．
设直线BC的解析式为 则
∴直线BC的解析式为           
(2)图象．                                  

（3）解法一：在中，OA=OC=5,∴∠OAC=45^０ ．
又 
∴⊙P的半径       
解法二：
由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线的对称轴直线上，
设P（-2，-h）（h＞0），
连结PB、PC，则，
由，即，解得h=2．
的半径．
解法三：
延长CP交于点F．
ＣＦ为⊙Ｐ的直径，
又．
．
又，，
 ∴⊙Ｐ的半径为
（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为，则点E的坐标为
若，则
．
解得（不合题意舍去），，．
若，则．

解得（不合题意舍去），，．
存在点M，点M的坐标为或（15，280）．

解析

（1）法一：用韦达定理表示，求m
法二：直接用因式分解解出方程的两根，两根就是点A，点B的横坐标，根据，求出m，通过m的值可以求出点B和点C的坐标，就可以求出直线BC的解析式
（2）根据解析式易画出抛物线和直线
（3）法一:利用，求半径
法二：圆和抛物线的对称性，求出点P的坐标即可
法三：利用三角形相似求出圆的直径
（4）设MN交直线BC于点E，由于，知道抛物线和直线BC的解析式，可求出点M坐标，但需要分情况讨论