题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．
（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S_△POA=2S_△AOB；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案

（1），（6，0）（2）P₁（3+，2），P₂（3﹣，2）（3）存在，Q点的坐标（9，3），（﹣3，3）

解析

解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax²+bx（a≠0），
又∵函数的顶点坐标为（3，﹣），
∴，解得：。
∴函数解析式为：。
由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）。
（2）∵S_△POA=2S_△AOB，
∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2。
代入函数解析式得：，解得：x₁=3+，x₂=3﹣。
∴满足条件的有两个，P₁（3+，2），P₂（3﹣，2）。
（3）存在。
过点B作BP⊥OA，
则tan∠BOP=tan∠BAP=。
∴∠BOA=30°。
设Q₁坐标为（x，），过点Q₁作Q₁F⊥x轴，
∵△OAB∽△OQ₁A，∴∠Q₁OA=30°，
∴OF=Q₁F，即x=，解得：x=9或x=0（舍去）。
∴Q₁坐标为（9，3），
根据函数的对称性可得Q₂坐标为（﹣3，3）。
∴Q点的坐标（9，3），（﹣3，3）。
（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，﹣）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标。
（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式可得出点P的横坐标。
（3）先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q₁OA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q₁的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q₂的坐标。