题目
题型:不详难度:来源:
(1)求二次函数的解析式;
(2)在y轴上确定一点M,使MA+MC的值最小,求出点M的坐标;
(3)在x轴下方的抛物线上,是否存在点N,使得以N、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在,求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)先由抛物线的顶点坐标得到抛物线的对称轴,再根据抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6,即可得到A、B两点的坐标,从而求得结果;
(2)作点A关于轴的对称点,可得(1,0),连接C交轴于一点即点M,此时MC+MA的值最小,设直线C的解析式为(k≠0),根据待定系数法求得函数关系式,即可得到结果;
(3)由(1)可知,C(-4,),设对称轴交x轴于点D,分①AB=AN1=6,②AB=BN2,③N3A=N3B,三种情况讨论即可.
(1)∵抛物线的顶点坐标为,
∴抛物线的对称轴为直线.
∵抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6,
∴A(-1,0),B( -7,0)
设抛物线解析式为
∴
解得
∴二次函数的解析式为;
(2)作点A关于轴的对称点,可得(1,0),连接C交轴于一点即点M,此时MC+MA的值最小
由作法可知,MA=M
∴MC+MA=MC+M=C
∴当点M在线段C上时,MA+MC取得最小值
∴线段C与轴的交点即为所求点M
设直线C的解析式为(k≠0)
∴
解得
∴直线C的解析式为
∴点M的坐标为(0,);
(3)由(1)可知,C(-4,),设对称轴交x轴于点D
∴AD=3
∴在Rt△ADC中,
∴∠CAD=30o
∵AC=BC
∴∠ABC=∠CAB=30o
∴∠ACB=120°
①如果AB=AN1=6,过N1作EN1⊥x轴于E
由△ABC∽△BAN1得∠BAN1=120o
则∠EAN1 = 60o
∴N1E=3,AE=3
∵A(-1,0)
∴OE=2
∵点N在x轴下方
∴点N2(2,)
②如果AB=BN2,由对称性可知N2(-10,)
③如果N3A=N3B,那么点N必在线段AB的中垂线即抛物线的对称轴上,在x轴下方的抛物线上不存在这样的点N
经检验,点N1(2,)与N2(-10,)都在抛物线上
综上所述,存在这样的点N,使△NAB∽△ABC,点N的坐标为(2,)或(-10,).
点评:解答本题的关键是读懂题意,正确画出图形,注意当明确了图象的顶点时,二次函数关系式一半设成顶点式.
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为C(-4,),且在x轴上截得的线段AB的长为6.(1)求二次函数的解析式;(2)在y轴上确定一点M,使M】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求该抛物线的解析式:
(2)若的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)如图2,过点B作直线轴,交线段OA于点C,在抛物线的对称轴上是否存在点D,使是以D为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点B的坐标,若不存在,请说明理由.
A.(-1,2) | B.(1,-2) | C.(1,2) | D.(-1,-2) |
A., | B., |
C., | D., |
(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴及与坐标轴交点的坐标;
(2)并画出函数的大致图象,并求使y>0的x的取值范围。
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