题目

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线C₁：y=ax²+bx+1的顶点坐标为D（1，0），
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）如图1，将抛物线C₁向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C₂，直线y=x+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C₂于点B，抛物线C₂的顶点为P，求△DBP的面积；
（3）如图2，连接AP，过点B作BC⊥AP于C，设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC·（AC+EC）为定值．

答案

（1）y=x²-2x+1；（2）3；（3）由QM∥CE，得△PQM∽△PEC，利用相似比求EC，由QN∥FC，得△BQN∽△BFC，利用相似比求FC，已知AC=4，再计算FC（AC+EC）为定值．

解析

试题分析：（1）已知顶点P的坐标，设抛物线的顶点式为：y=a（x-1）²，将点（0，1）代入即可；
（2）根据平移规律求出平移后抛物线的顶点坐标，即P（2，-1），根据顶点式，得平移后抛物线解析式y=（x-2）²-1，由解析式，得A（0，-1），B（4，3），可求△DBP的面积；
（3）由QM∥CE，得△PQM∽△PEC，利用相似比求EC，由QN∥FC，得△BQN∽△BFC，利用相似比求FC，已知AC=4，再计算FC（AC+EC）为定值．
（1）∵抛物线顶点为P（1，0），经过点（0，1）
∴可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，将点（0，1）代入，得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+1；
（2）根据题意，平移后顶点坐标P（2，-1）
∴抛物线的解析式为：y=（x-2）²-1，
∴A（0，-1），B（4，3），
∴S_△DBP=3；
（3）过点Q作QM⊥AC于点M，过点Q作QN⊥BC于点N

设点Q的坐标是（t，t²-4t+3），则QM=CN=（t-2）²，MC=QN=4-t．
∵QM∥CE，∴△PQM∽△PEC，
∴QM ：EC ="PM" ：PC ，即(t-2) ²：EC ="t-1" ：2 ，
得EC=2（t-2），
∵QN∥FC，∴△BQN∽△BFC，
∴QN ：FC ="BN" ：BC ，
即4-t ：FC ="3-(t" ² -4t+3) ：4 ，
得FC="4" ：t ，
又∵AC=4，
∴FC（AC+EC）= [4+2（t-2）]=8，
即FC（AC+EC）为定值8．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．