题目
题型:不详难度:来源:
(0,),点D的坐标为(1,),点C在轴的正半轴上,过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C,点P为CD的中点.
(1)求抛物线的解析式及点P的坐标;
(2) 在轴右侧的抛物线上是否存在点Q,使以Q为圆心的圆同时与轴、直线OP相切.若存在,请求出满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点M为线段OP上一动点(不与O点重合),过点O、M、D的圆与轴的正半轴交于点N.求证:OM+ON为定值.
(4)在轴上找一点H,使∠PHD最大.试求出点H的坐标.
答案
解析
试题分析:解:(1) 设抛物线的解析式为,
将(0,0)代入,得 ,
∴抛物线的解析式为即 2分
4分
(2)若⊙Q在直线OP上方,则Q与D点重合,此时Q1;
若⊙Q在直线OP下方,与轴、直线OP切于E、F,
则QE=QF,QE⊥轴,QF⊥OP
∴OQ平分∠EOF
∵∠EOF="120°" ∴∠FOQ=60°
∵∠POC=30°,则∠QOC=30°
设Q,则
解得(舍去), ∴ 8分
(3)∵在过点O、M、D的圆中,有∠MOD=∠NOD ∴ ∴MD= ND
易得OD平分∠AOP,DA⊥轴,DP⊥OP ∴DA= DP
可证得△NAD≌△MPD(HL) ∴MP= AN
∴OM+ON= OP-MP+OA+AN=OP+OA=2OA=,
则OM+ON=,即OM+ON为定值. 11分
(4)作过P、D两点且与轴相切于点H的圆S,
则由圆周角大于圆外角可知,∠PHD最大. 12分
设,则由HS=SD=SP
可得,
H 14分
点评:此题比较综合,把几何图形和二次函数结合起来考察学生,要求学生都知识的掌握程度比较高,解答过程稍微比较复杂,是区分学生成绩的题目。
核心考点
试题【在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直角梯形AOCD的顶点A的坐标为(0,),点D的坐标为(1,),点C在轴的正半轴上,过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C,点P】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求抛物线的解析式;
(2)用直尺和圆规作出△ABC的外接圆⊙M,(不写作法,保留作图痕迹),并求⊙M的圆心M的坐标;
(1)求出点B的坐标。
(2)当为何值时,△POQ与△COD相似?
(3)当点P在x轴负半轴上时,记四边形PBEQ的面积为S,求S关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(4)在点P、Q的运动过程中,将△POQ绕点O旋转1800,点P的对应点P′,点Q的对应点Q′,当线段P′Q′与线段BE有公共点时,抛物线经过P′Q′的中点,此时的抛物线与x轴正半轴交于点M。由已知,直接写出:
①的取值范围为 ;
②点M移动的平均速度是 。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R;
①求证:PF=PR
②是否存在点P,使得△PFR为等边三角形;若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
③延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作BC所在直线的垂线,垂足为点S,试判断△RSF的形状.
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