题目
题型:不详难度:来源:
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R;
①求证:PF=PR
②是否存在点P,使得△PFR为等边三角形;若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
③延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作BC所在直线的垂线,垂足为点S,试判断△RSF的形状.
答案
解析
试题分析:(1)由题意可得点A的坐标为(2,-1),根据抛物线的顶点为坐标原点O可设抛物线的解析式为,再将点A(2,-1)代入即可求得结果;
(2)①过点P作PG⊥y轴,垂足为G,由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),则,,,根据点P(a,b)为抛物线上的动点可得,变形得:,在Rt△PGF中,根据勾股定理即可证得结论;
②由P(a,b),F(0,-1),R(a,1),根据勾股定理可表示出RF的长,由①可知:PF=PR=1-b,则可得当时△PFR为等边三角形,从而可以求得结果;
③连接SF、RF,由PF=PR;PR∥FO可得∠1=∠2,∠1=∠3,即得,同理可得,则,即可得到结果.
(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1)
∵抛物线的顶点为坐标原点O
∴可设抛物线的解析式为:;
将点A(2,-1)代入可得:;解得,
∴抛物线的解析式为:;
(2)①过点P作PG⊥y轴,垂足为G
由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1)
∴,,
∵点P(a,b)为抛物线上的动点
∴,变形得:
在Rt△PGF中,由勾股定理可得:
∴PF=PR;
②存在点P,使得△PFR为等边三角形;
∵P(a,b),F(0,-1),R(a,1)
∴
由①可知:PF=PR=1-b
∴当时△PFR为等边三角形
解得:,(不合题意,舍去)
∴当时,有,解得:,
∴点P的坐标为(,-3),(,-3);
③△RSF为直角三角形.
如图,连接SF、RF
∵PF=PR;PR∥FO
∴∠1=∠2;∠1=∠3
∴
同理可得:
∴
∴△RSF为直角三角形.
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.
核心考点
试题【如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A、D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2,1),点P(a】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)抛物线C过点(0,-3);如果把抛物线C向左平移个单位后其顶点恰好在y轴上,求抛物线C的解析式及其上的不动点;
(2)对于任意实数b,实数a应在什么范围内,才能使抛物线C上总有两个不同的不动点?
(3)设a为整数,且满足a+b+1=0,若抛物线C与x轴两交点的横坐标分别为x1, x2,是否存在整数k,使得成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
A.y=(x-2) 2+1 | B.y=(x-2) 2-1 |
C.y=(x+2) 2+1 | D.y=(x+2) 2-1 |
(1)求该二次函数的关系式;
(2)点C是否在此二次函数的图象上,说明理由;
(3)若点P为直线OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,问是否存在这样的点P,使得四边形ABMP为平行四边形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
①图象关于直线对称;②当x=2时,y>0;③当x=-2时,y<0.
答: .
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