题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→ C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t（秒）.

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；
（3）以O、P、Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值，若不能，请说明理由；
（4）经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由.

答案

（1）（2）（2≤t≤3）（3）不能（4）能够交于一点，此时0≤t≤2

解析

解：（1）设经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：，
把A（6，0），B（3，），C（1，）代入得：
，解得：。
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：。
（2）∵可求BC=2，OC=2，OA=6
∴当点Q在CO边上运动，点P在OA边上运动时，2≤t≤3。
如图，过点C作CD⊥x轴的于点D，过点Q作QH⊥x轴的于点H，

则OD=1，CD=，OC=2，。
由△OQH∽△OCD得，，即，
∴。
又∵动点P的速度是每秒2个单位，∴OP=2t。
∴。
∴所求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式为：（2≤t≤3）。
（3）根据题意可知，0≤t≤3。
当0≤t≤2时，点Q在BC边上运动，此时，OP=2t，。
∵OD=1，CD=，∴。∴。
∵，∴若△OPQ为直角三角形，只能是或。
若，则，即，
解得，或（舍去）。
若，则，即，
解得，。
当2＜t≤3时，点Q在CO边上运动，此时，OP=2t＞4，，OQ＜OC=2，
∴此时，△OPQ不可能为直角三角形。
综上所述，当或时，△OPQ为直角三角形。
（4）由（1）可得，其对称轴为。
又直线OB的解析式为，
∴抛物线对称轴与OB的交点为M（0，）。
又P（2t，0），
设过点P、M的直线解析式为，则
，解得。
∴过点P、M的直线解析式为 。
又当0≤t≤2时，Q，
把代入得
，
∴点Q在直线PM上，即当0≤t≤2时，点P、M、Q总在一直线上。
当2＜t≤3时，，，∴Q。
代入，解得或，均不合题意，舍去。
综上所述，经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点，此时0≤t≤2。
（1）应用待定系数法求解即可。
（2）过点C作CD⊥x轴的于点D，过点Q作QH⊥x轴的于点H，由△OQH∽△OCD得比例式，从而用t表示出△OPQ的边OP上的高，进而根据三角形面积公式即可求得所求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式。
（3）分点Q在BC边上运动（0≤t≤2）和点Q在CO边上运动（2＜t≤3）两种情况讨论。
（4）根据二次函数的性质求出抛物线对称轴，求出直线OB的解析式，从而得到二者的交点
M（0，），进而求出点P、M的直线解析式为。分分点Q在BC边上运动（0≤t≤2）和点Q在CO边上运动（2＜t≤3）两种情况讨论点Q与直线的关系，得出结论。