题目
题型:不详难度:来源:
(1)求点B及点D的坐标.
(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.
①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标.
②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.
答案
(2)①点P的坐标为(,)②点M坐标为()或(5,12)
解析
∴当y=0时,,解得x=3或x=﹣1。∴点B的坐标为(3,0)。
∵,∴顶点D的坐标为(1,-4)。
(2)①如图,
∵抛物线与y轴交于点C,
∴C点坐标为(0,-3)。
∵对称轴为直线x=1,
∴点E的坐标为(1,0)。
连接BC,过点C作CH⊥DE于H,则H点坐标为(1,﹣3),
∴CH=DH=1。
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°。
∴CD=,CB=3,△BCD为直角三角形。
分别延长PC、DC,与x轴相交于点Q,R。
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR,
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP,∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP,
∴∠CDB=∠QCO。∴△BCD∽△QOC。∴。
∴OQ=3OC=9,即Q(﹣9,0).
∴直线CQ的解析式为。
又直线BD的解析式为,
由方程组解得:。
∴点P的坐标为(,)。
②(Ⅰ)当点M在对称轴右侧时,
若点N在射线CD上,如图,
延长MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G.,
∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,
∴△MCN∽△DBE。∴。∴MN=2CN。
设CN=a,则MN=2a。
∵∠CDE=∠DCF=45°,
∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形。
∴NF=CN=a,CF=a。∴MF=MN+NF=3a。∴MG=FG=a。
∴CG=FG﹣FC=a。
∴M(a,)。
代入抛物线,解得a=。,
∴M()。
若点N在射线DC上,如图,
MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G,
∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,
∴△MCN∽△DBE,∴。
∴MN=2CN。.
设CN=a,则MN=2a。
∵∠CDE=45°,
∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形。,
∴NF=CN=a,CF=a。
∴MF=MN﹣NF=a,∴MG=FG=a。∴CG=FG+FC=a。∴M(a,)。
代入抛物线,解得a=。
∴M(5,12)。
(Ⅱ)当点M在对称轴左侧时,
∵∠CMN=∠BDE<45°,∴∠MCN>45°。
而抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°,∴点M不存在。
综上可知,点M坐标为()或(5,12)。
(1)解方程,求出x=3或﹣1,根据抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),确定点B的坐标为(3,0);将抛物线写成顶点式,即可确定顶点D的坐标。
(2)①根据抛物线,得到点C、点E的坐标.连接BC,过点C作CH⊥DE于H,由勾股定理得出CD=,CB=3,证明△BCD为直角三角形.分别延长PC、DC,与x轴相交于点Q,R.根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC,则,得出Q的坐标(﹣9,0),运用待定系数法求出直线CQ的解析式为,直线BD的解析式为,解方程组,即可求出点P的坐标。
②分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧两种情况进行讨论:(Ⅰ)当点M在对称轴右侧时,分点N在射线CD上和点N在射线DC上两种情况讨论;(Ⅱ)当点M在对称轴左侧时,由于∠BDE<45°,得到∠CMN<45°,根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN>45°,而抛物线左侧任意一点K,都有∠KCN<45°,所以点M不存在。
核心考点
试题【抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为顶点.(1)求点B及点D的坐标.(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.①若线段】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求梯形COBD的面积。
A.12 | B.9 | C. | D.10 |
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
价格y1(元/件) | 56 | 58 | 60 | 62 | 64 | 66 | 68 | 70 | 72 |
(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,直接写出y1与x之间的函数关系式,根据如图所示的变化趋势,直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式;
(2)若去年该配件每件的售价为100元,生产每件配件的人力成本为5元,其它成本3元,该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足函数关系式(1≤x≤9,且x取整数),10至12月的销售量p2(万件)与月份x满足函数关系式(10≤x≤12,且x取整数)。求去年哪个月销售该配件的利润最大,并求出这个最大利润;
(3)今年1月,每件配件的原材料价格比去年12月上涨6元,人力成本比去年增加20%,其它成本没有变化,该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%,与此同时1月份销售量在去年12月的基础上减少8a%,这样,在保证1月份上万件配件销量的前提下,完成了利润17万元的任务,请你计算出a的值。
A.(1,3) | B.(1,-3) | C.(-1,3) | D.(-1,-3) |
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