题目

题型：不详难度：来源：

如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线经过点A、B、C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）
（2）①P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）。
②当t=﹣时，S_△PCD的最大值为。

解析

分析：（1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式。
（2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当∠CEF=90°时，当∠CFE=90°时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标。
②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论。
解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，，∴OB=3OA=3．。
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB。∴OC=OB=3，OD=OA=1。
∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．

代入解析式得，解得：。
∴抛物线的解析式为。
（2）①∵，∴对称轴l为x=﹣1。
∴E点的坐标为（﹣1，0）。
当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）。
当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP。
∴。∴MP=3EM．。
∵P的横坐标为t，∴P（t，）。
∵P在二象限，∴PM=，EM=，
∴，解得：t₁=﹣2，t₂=﹣3（与C重合，舍去）。
∴t=﹣2时，。
∴P（﹣2，3）。
综上所述，当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）。
②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得
，解得：。
∴直线CD的解析式为：y=x+1。
设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，t+1），∴NM=t+1。
∴。
∵S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN，
∴。
∴当t=﹣时，S_△PCD的最大值为。