题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线的解析式.
(2)当DE=4时,求四边形CAEB的面积.
(3)连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?若存在,求此点D坐标;若不存在,说明理由.
答案
(2)12
(3)存在点D,使得△DBE和△DAC相似,点D的坐标为(﹣3,1)或(﹣2,2)。
解析
试题分析:(1)首先求出点A、B的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(2)设点C坐标为(m,0)(m<0),根据已知条件求出点E坐标为(m,8+m);由于点E在抛物线上,则可以列出方程求出m的值.在计算四边形CAEB面积时,利用S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO,可以简化计算。
(3)由于△ACD为等腰直角三角形,而△DBE和△DAC相似,则△DBE必为等腰直角三角形。分∠BED=90°和∠EBD=90°两种情况讨论。
解:(1)在直线解析式y=x+4中,令x=0,得y=4;令y=0,得x=﹣4,
∴A(﹣4,0),B(0,4)。
∵点A(﹣4,0),B(0,4)在抛物线y=﹣x2+bx+c上,
∴,解得:。
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣3x+4。
(2)设点C坐标为(m,0)(m<0),则OC=﹣m,AC=4+m。
∵OA=OB=4,∴∠BAC=45°。∴△ACD为等腰直角三角形。∴CD=AC=4+m。
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m。∴点E坐标为(m,8+m)。
∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上,∴8+m=﹣m2﹣3m+4,解得m=﹣2。
∴C(﹣2,0),AC=OC=2,CE=6。
∴S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+(6+4)×2﹣×2×4=12。
(3)设点C坐标为(m,0)(m<0),
则OC=﹣m,CD=AC=4+m,BD=OC=﹣m,则D(m,4+m)。
∵△ACD为等腰直角三角形,若△DBE和△DAC相似,则△DBE必为等腰直角三角形。
i)若∠BED=90°,则BE=DE,
∵BE=OC=﹣m,∴DE=BE=﹣m。∴CE=4+m﹣m=4。∴E(m,4)。
∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上,
∴4=﹣m2﹣3m+4,解得m=0(不合题意,舍去)或m=﹣3。∴D(﹣3,1)。
ii)若∠EBD=90°,则BE=BD=﹣m,
在等腰直角三角形EBD中,DE=BD=﹣2m,∴CE=4+m﹣2m=4﹣m。∴E(m,4﹣m)。
∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上,
∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4,解得m=0(不合题意,舍去)或m=﹣2。
∴D(﹣2,2)。
综上所述,存在点D,使得△DBE和△DAC相似,点D的坐标为(﹣3,1)或(﹣2,2)。
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点,过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c.点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式;
(2)求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标;
(3)是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(1)求交点A、B的坐标;
(2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数的函数值为y2.若y1>y2,求x的取值范围;
(3)在该抛物线上存在几个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形?并求出不少于3个满足条件的点P的坐标.
A.﹣1 | B.1 | C.3 | D.5 |
时段 | x | 还车数(辆) | 借车数(辆) | 存量y(辆) |
6:00﹣7:00 | 1 | 45 | 5 | 100 |
7:00﹣8:00 | 2 | 43 | 11 | n |
… | … | … | … | … |
(1)m= ,解释m的实际意义: ;
(2)求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式;
(3)已知9:00~10:00这个时段的还车数比借车数的3倍少4,求此时段的借车数.
A.a<0 |
B.b2﹣4ac<0 |
C.当﹣1<x<3时,y>0 |
D. |
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