题目
题型:不详难度:来源:
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系,并给出证明.
(3)在抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形.若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
∵此抛物线过点A(0,-5),∴,解得。
∴此抛物线的解析式为:,即。
(2)此时抛物线的对称轴与⊙C相离。证明如下:
令,即,得x=1或x=5,
∴B(1,0),C(5,0)。
令x=1,得,∴A(0,-5)。
如图,过点C作CE⊥BD于点E,作抛物线的对称轴交x轴于点F,
∵AB⊥BD,∴∠ABO=900-∠ABO=∠CBE。
∵∠AOB=∠BEC=900,∴△AOB∽△BEC。
∴。
又∵OB=1,OA=5,∴根据勾股定理,得。
又∵BC=4,∴,即。
∵CF=2,∴,即。
∴抛物线的对称轴与⊙C相离。
(3)存在。
假设存在满足条件的点,
∵点在抛物线上,∴。
又,
,
。
①当∠A=900时,在中,由勾股定理,得 ,
∴,整理,得。
∴,解得或,∴或。
∴点P为(7,-12)或(0,-5)(舍去)。
②当∠C=900时,在中,由勾股定理,得,
∴,整理,得。
∴,解得或,∴或。
∴点P为(2,3)或(5,0)(舍去)。
综上所述,满足条件的点P的坐标为(7,-12)或(2,3)。
解析
(2)过点C作CE⊥BD于点E,应用△AOB∽△BEC求得CE的长,与点C到抛物线的对称轴的距离比较即可。
(3)用点P的横坐标表示三边的长,分∠A=900和∠C=900两种情况讨论即可。
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交 y轴与A点,交x轴与B、C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,-5).(1)求此抛物线的解析式;】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)y1=y2,请说明a必为奇数;
(2)设a=11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值;
(3)对于给定的正实数a,是否存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代数式表示);如果不存在,请说明理由.
则该函数图象的顶点坐标为【 】
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | … |
y | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣3 | ﹣6 | ﹣11 | … |
y1>y2.其中说法正确的是【 】
A.①② | B.②③ | C.①②④ | D.②③④ |
(1)求二次函数的解析式;
(2)求证:直线BE是⊙D的切线;
(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段CB上的一个动点(点M与点B,C不重合),过点M作MN∥BE交x轴与点N,连结PM,PN,设CM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在着最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
A. | B. | C. | D. |
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