题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是抛物线对称轴上的一点,以M、B、D为顶点的三角形的面积是6,求点M的坐标;
(3)点P从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动,同时点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动,当点P到达点B时,P、Q同时停止运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?请直接写出所有符合条件的值.
答案
∵点A(5,0),C(0,3)在抛物线上,
∴,解得:。
∴抛物线的解析式为:。
(2)∵,
∴抛物线的对称轴为直线x=3。
如答图1所示,设对称轴与BD交于点G,与x轴交于点H,则H(3,0)。
令y=0,即,解得x=1或x=5。
∴D(1,0)。∴DH=2,AH=2,AD=4。
∵,∴GH=DH•tan∠ADB=2×=。
∴G(3,)。
∵S△MBD=6,即S△MDG+S△MBG=6,∴MG•DH+MG•AH=6,即: MG×2+MG×2=6。
解得:MG=3。
∴点M的坐标为(3,)或(3,)。
(3)在Rt△ABD中,AB=3,AD=4,则BD=5,∴sinB=,cosB=。
以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,则:
①若PD=PQ,如答图2所示,
此时有PD=PQ=BQ=t,过点Q作QE⊥BD于点E,
则BE=PE,BE=BQ•cosB=t,QE=BQ•sinB=t,
∴DE=t+t=t。
由勾股定理得:DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2,
即(t)2+(t)2=42+(3﹣t)2,整理得:11t2+6t﹣25=0,
解得:t=或t=﹣5(舍去)。
∴t=。
②若PD=DQ,如答图3所示,
此时PD=t,DQ=AB+AD﹣t=7﹣t,
∴t=7﹣t。∴t=。
③若PQ=DQ,如答图4所示,
∵PD=t,∴BP=5﹣t。
∵DQ=7﹣t,∴PQ=7﹣t,AQ=4﹣(7﹣t)=t﹣3。
过点P作PF⊥AB于点F,
则PF=PB•sinB=(5﹣t)×=4﹣t,BF=PB•cosB=(5﹣t)×=3﹣t。
∴AF=AB﹣BF=3﹣(3﹣t)=t。
过点P作PE⊥AD于点E,则PEAF为矩形,
∴PE=AF=t,AE=PF=4﹣t。∴EQ=AQ﹣AE=(t﹣3)﹣(4﹣t)=t﹣7。
在Rt△PQE中,由勾股定理得:EQ2+PE2=PQ2,即:(t﹣7)2+(t)2=(7﹣t)2,
整理得:13t2﹣56t=0,解得:t=0(舍去)或t=。
∴t=。
综上所述,当t=或t=或t=时,以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形。
解析
试题分析:(1)求出点A、C的坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(2)如答图1所示,关键是求出MG的长度,利用面积公式解决;注意,符合条件的点M有2个,不要漏解。
(3)△DPQ为等腰三角形,可能有三种情形,需要分类讨论:
①若PD=PQ,如答图2所示;②若PD=DQ,如答图3所示;③若PQ=DQ,如答图4所示。
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y的正半轴上,点B的坐标是(5,3),抛物线经过A、C两点,与x轴的另一个交】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求点A,B的坐标(直接写出结果),并证明△MDE是等腰三角形;
(2)△MDE能否为等腰直角三角形?若能,求此时点P的坐标;若不能,说明理由;
(3)若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”,其他条件不变,△MDE能否为等腰直角三角形?若能,求此时点P的坐标(直接写出结果);若不能,说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点C作CD//x轴交抛物线于点D,连接AD交y轴于点E,连接AC,设△AEC的面积为S1, △DEC的面积为S2,求S1:S2的值;
(3)点F坐标为(6,0),连接D,在(2)的条件下,点P从点E出发,以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F匀速运动;点Q从点F出发,以每秒2个单位长的速度沿F→A匀速运动,当其中一点到达终点时,另外一点也随之停止运动.若点P、Q同时出发,设运动时间为t秒,当t为何值时,以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形?请直接写出所有符合条件的t值..
A. | B. | C. | D. |
(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式,并求出面积为48时BC的长;
(2)当BC多长时,△ABC的面积最大?最大面积是多少?
(3)当△ABC面积最大时,是否存在其周长最小的情形?如果存在,请说出理由,并求出其最小周长;如果不存在,请给予说明.
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