题目
题型:不详难度:来源:
(1)求D的的坐标及抛物线的解析式;
(2)一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似?
(3)点N在抛物线对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)根据折叠图形的轴对称性,△CED、△CBD全等,首先在Rt△CEO中求出OE的长,进而可得到AE的长;在Rt△AED中,AD=AB﹣BD、ED=BD,利用勾股定理可求出AD的长.进一步能确定D点坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
(2)由于∠DEC=90°,首先能确定的是∠AED=∠OCE,若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似,那么∠QPC=90°或∠PQC=90°,然后在这两种情况下,分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值.
(3)由于以M,N,C,E为顶点的四边形,边和对角线都没明确指出,所以要分情况进行讨论:①EC做平行四边形的对角线,那么EC、MN必互相平分,由于EC的中点正好在抛物线对称轴上,所以M点一定是抛物线的顶点;
②EC做平行四边形的边,那么EC、MN平行且相等,首先设出点N的坐标,然后结合E、C的横、纵坐标差表示出M点坐标,再将点M代入抛物线的解析式中,即可确定M、N的坐标.
试题解析:(1)∵四边形ABCO为矩形,∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°,AB=CO=8,AO=BC=10.由题意,△BDC≌△EDC.∴∠B=∠DEC=90°,EC=BC=10,ED=BD.由勾股定理易得EO=6.∴AE=10﹣6=4,设AD=,则BD=ED=,由勾股定理,得,解得,,∴AD=3.∵抛物线过点D(3,10),C(8,0),O(0,0)∴,解得,∴抛物线的解析式为:.
(2)∵∠DEA+∠OEC=90°,∠OCE+∠OEC=90°,∴∠DEA=∠OCE,由(1)可得AD=3,AE=4,DE=5.而CQ=t,EP=2t,∴PC=10﹣2t.①当∠PQC=∠DAE=90°,△ADE∽△QPC,∴=,即,解得.②当∠QPC=∠DAE=90°,△ADE∽△PQC,∴=,即,解得.∴当或时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似.
(3)假设存在符合条件的M、N点,分两种情况讨论:①EC为平行四边形的对角线,由于抛物线的对称轴经过EC中点,若四边形MENC是平行四边形,那么M点必为抛物线顶点;
则:M(4,);而平行四边形的对角线互相平分,那么线段MN必被EC中点(4,3)平分,则N(4,);
②EC为平行四边形的边,则ECMN,设N(4,m),则M(4﹣8,m+6)或M(4+8,m﹣6);
将M(﹣4,m+6)代入抛物线的解析式中,得:m=﹣38,此时 N(4,﹣38)、M(﹣4,﹣32);
将M(12,m﹣6)代入抛物线的解析式中,得:m=﹣26,此时 N(4,﹣26)、M(12,﹣32);
综上,存在符合条件的M、N点,且它们的坐标为:①M1(﹣4,﹣32),N1(4,﹣38);②M2(12,﹣32),N2(4,﹣26);③M3(4,),N3(4,).
核心考点
试题【如图,在矩形OABC中,点A(0,10),C(8,0).沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处.分别以OC, OA所在的直线为x轴,y】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.(-1,-4) | B.(1,-4) | C.(-1,-2) | D.(1,-2) |
A.x=1 | B.x=-1 | C.x=-3 | D.x=3 |
A.y1>y2 | B.y1=y2 | C.y1<y2 | D.不能确定 |
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