题目

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线与轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与轴交于点C(0，3)．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)若P为线段BD上的一个动点，点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示点P的纵坐标；
(3)过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；
(4)若点F是第一象限抛物线上的一个动点，过点F作FQ∥AC交x轴于点Q．当点F的坐标为          时，四边形FQAC是平行四边形；当点F的坐标为           时，四边形FQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)．

答案

（1），（1，4）；(2)； (3)，（）；(4) （2，3）；（）.

解析

试题分析：（1）抛物线的解析式为：,将点C(0，3)代入即可求出抛物线的解析式，再化成顶点式从而求出顶点坐标D.
(2)先求出直线BD的解析式为，∵点P的横坐标为m∴点P的纵坐标为：.
(3)用割补法求出，再配成顶点式，∵，∴当时，四边形PMAC的面积取得最大值为
此时点P的坐标为（）.
(4)四边形PQAC为平行四边形或等腰梯形时，需要结合几何图形的性质求出P点坐标：①当四边形PQAC为平行四边形时，如答图1所示．构造全等三角形求出P点的纵坐标，再利用P点与C点关于对称轴x=1对称的特点，求出P点的横坐标；②当四边形PQAC为平行四边形时，如答图2所示．利用等腰梯形、平行四边形、全等三角形以及线段之间的三角函数关系，求出P点坐标．
                 
答图1                                             答图2
试题解析：（1）∵抛物线与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，
∴可设抛物线的解析式为：
又∵抛物线 与y轴交于点C(0，3)，
∴
∴
∴
即抛物线的解析式为：
∴
∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）
（2）设直线BD的解析式为：
由B（3，0），D（1，4）得
解得
∴直线BD的解析式为
∵点P在直线PD上，点P的横坐标为m
∴点P的纵坐标为：
（3）由（1），（2）知：
OA=1，OC=3，OM=m，PM=
∴



∵，∴当时，四边形PMAC的面积取得最大值为.
此时点P的坐标为（）.
（4）（2，3）；（）.
考点:二次函数及其应用