题目

题型：不详难度：来源：

已知二次函数y=x²–kx+k–1（k＞2）.

（1）求证：抛物线y=x²–kx+k-1（k＞2）与x轴必有两个交点;
（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,若,求抛物线的表达式;
（3）以（2）中的抛物线上一点P（m,n）为圆心,1为半径作圆,直接写出：当m取何值时,x轴与相离、相切、相交.

答案

（1）证明见解析;
（2）抛物线的表达式为;
（3）当或时,x轴与相离.
当或或时,x轴与相切.
当或时,x轴与相交．

解析

试题分析：（1）要证明二次函数的图象与x轴都有两个交点,证明二次函数的判别式是正数即可解决问题;
（2）根据函数解析式求出A、B、C点坐标,再由,求出函数解析式;
（3）先求出当或或时,x轴与相切,再写出相离与相交．
试题解析：（1）∵,
又∵,
∴.
∴即.
∴抛物线y=x²–kx+k-1与x轴必有两个交点;
(2)∵抛物线y=x²–kx+k-1与x轴交于A、B两点,
∴令,有.
解得：.
∵,点A在点B的左侧,
∴.
∵抛物线与y轴交于点C,
∴.
∵在Rt中,,
∴,解得.
∴抛物线的表达式为;
（3）解：当或时,x轴与相离.
当或或时,x轴与相切.
当或时,x轴与相交．