题目
题型:不详难度:来源:
(1)求该抛物线的解析式.
(2)若过点A(﹣1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线的解析式.
(3)点P在抛物线的对称轴上,⊙P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.
答案
解析
试题分析:(1)根据函数图象过x轴上两点M(1,0)和N(3,0),设出函数两点式,将D(0,3)代入解析式,求出a的值,即可求出函数解析式;
(2)根据过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,再由AC=3,BC=4,求出B点坐标,利用待定系数法即可求出一次函数解析式;
(3)设⊙P与AB相切于点Q,与x轴相切于点C;证出△ABC∽△PBQ,得到,求出PC的长,即可求出P点坐标.
试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),
∴假设二次函数解析式为:y=a(x-1)(x-3),
将D(0,3),代入y=a(x-1)(x-3),
得:3=3a,∴a=1,
∴抛物线的解析式为:y=a(x-1)(x-3)=x2-4x+3;
(2)∵过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,
∴AC×BC=6,
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,
∴二次函数对称轴为x=2,
∴AC=3,
∴BC=4,
∴B点坐标为:(2,4)或(2,-4),
一次函数解析式为;y=kx+b,当点B为(2,4)时,
∴ ,解得: ,
∴y=x+;
当点B为(2,-4)时,,解得,
∴y=−x−,
∴直线AB的解析式为:y=x+或y=−x−;
(3)∵当点P在抛物线的对称轴上,⊙P与直线AB和x轴都相切,
设⊙P与AB相切于点Q,与x轴相切于点C;
∴PQ⊥AB,AQ=AC,PQ=PC,
∵AC=1+2=3,BC=4,
∴AB=5,AQ=3,
∴BQ=2,
∵∠QBP=∠ABC,
∠BQP=∠ACB,
∴△ABC∽△PBQ,
∴,
∴ ,
∴PC=1.5,
P点坐标为:(2,1.5),
同理可得(2,-1.5),(2,-6),(2,6).
考点: 二次函数综合题.
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.(1)】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求点B的坐标
(2)求该二次函数的关系式;
(3)结合图象,解答下列问题:
①当x取什么值时,该函数的图象在x轴上方?
②当-1<x<2时,求函数y的取值范围.
A.第一象限; | B.第二象限; | C.第三象限; | D.第四象限. |
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