题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是射线CB上一点,过点P作x轴的垂线,垂足为H,交抛物线于Q,设P点横坐标为t,线段PQ的长为d,求出d与t之间的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当点P在线段BC上时,设PH=e,已知d,e是以y为未知数的一元二次方程:y2-(m+3)y+(5m2-2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根,点M在抛物线上,连接MQ、MH、PM,且.MP平分∠QMH,求出t值及点M的坐标.
答案
解析
试题分析:(1)当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)就可以求出y=3而得出C的坐标,就可以得出直线的解析式,就可以求出B的坐标,在直角三角形AOC中,由三角形函数值就可以求出OA的值,得出A的坐标,再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论;
(2)分两种情况讨论,当点P在线段CB上时,和如图3点P在射线BN上时,就有P点的坐标为(t,-t+3),Q点的坐标为(t,-t2+2t+3),就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论;
(3)根据根的判别式就可以求出m的值,就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值,延长MP至L,使LP=MP,连接LQ、LH,如图2,延长MP至L,使LP=MP,连接LQ、LH,就可以得出四边形LQMH是平行四边形,进而得出四边形LQMH是菱形,由菱形的性质就可以求出结论.
试题解析:(1)当x=0,则y=-x+n=0+n=n,y=ax2+bx+3=3,
∴OC=3=n.
当y=0,
∴-x+3=0,x=3=OB,
∴B(3,0).
在△AOC中,∠AOC=90°,tan∠CAO=,
∴OA=1,
∴A(-1,0).
将A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3,
得
,
解得:
∴抛物线的解析式:y=-x2+2x+3;
(2) 如图1,
∵P点的横坐标为t 且PQ垂直于x轴 ∴P点的坐标为(t,-t+3),
Q点的坐标为(t,-t2+2t+3).
∴PQ=|(-t+3)-(-t2+2t+3)|="|" t2-3t |
∴;
∵d,e是y2-(m+3)y+(5m2-2m+13)=0(m为常数)的两个实数根,
∴△≥0,即△=(m+3)2-4× (5m2-2m+13)≥0
整理得:△= -4(m-1)2≥0,∵-4(m-1)2≤0,
∴△=0,m=1,
∴ PQ与PH是y2-4y+4=0的两个实数根,解得y1=y2=2
∴ PQ=PH=2,∴-t+3=2,∴t="1,"
∴此时Q是抛物线的顶点,
延长MP至L,使LP=MP,连接LQ、LH,如图2,
∵LP=MP,PQ=PH,∴四边形LQMH是平行四边形,
∴LH∥QM,∴∠1=∠3,∵∠1=∠2,∴∠2=∠3,
∴LH=MH,∴平行四边形LQMH是菱形,
∴PM⊥QH,∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同,都是2,
∴在y=-x2+2x+3令y=2,得x2-2x-1=0,∴x1=1+,x2=1-
综上:t值为1,M点坐标为(1+,2)和(1-,2)
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点,交x轴于另一点A,连】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.±4 | B.8 | C.-8 | D.±8 |
(1)当0≤t≤10时,求注意力指标数y与时间t的函数关系式;
(2)一道数学探究题需要讲解24分钟,问老师能否经过恰当安排,使学生在探究这道题时,注意力指标数不低于45?请通过计算说明.
(1)当t=4秒时,求过E、D、B三点的抛物线解析式.
(2)当0<t<5时,(如图甲),∠ECB的大小是否随着C、B的变化而变化?如果不变,求出它的大小.
(3)求证:∠APC=45°
(4)当t>5时,(如图乙)∠APC的大小还是45°吗?请说明理由.
(1)随着二氧化碳排放量的减少,每排放一吨二氧化碳,企业相应获得的利润也有所提高,且相应获得的利润p(万元)与月份x(月)的函数关系如图所示,那么哪月份,该企业获得的月利润最大?最大月利润是多少万元?
(2)受国家政策的鼓励,该企业决定从6月份起,每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%,与此同时,每排放一吨二氧化碳,企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%,要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍,求a的值(精确到个位).
(参考数据:=7.14,=7.21,=7.28,=7.35)
(1)求二次函数的解析式;
(2)点M在线段OC上,平面内有一点Q,使得四边形ABMQ为菱形,求点M坐标;
(3)点P在线段OC上,从O点出发向C点运动,过P点作x轴的垂线,交直线AO于D点,以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF(当P点运动时,点D、点E、点F也随之运动);
①当点E在二次函数的图像上时,求OP的长;
②若点P从O点出发向C点做匀速运动,速度为每秒1个单位长度,若P点运动t秒时,直线AC与以DE为直径的⊙M相切,直接写出此刻t的值.
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