题目
题型:不详难度:来源:
(1)如图,若该抛物线过A,B两点,求b,c的值;
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与直线AC交于另一点Q.
①点M在直线AC下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以M,P,Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时,求点M的坐标;
②取BC的中点N,连接NP,BQ.当取最大值时,点Q的坐标为________.
答案
解析
试题分析:(1)先求出点B的坐标,然后利用待定系数法求即可求得b,c的值.
(2)①首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度,作为后续计算的基础,当以M,P,Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时,点M到PQ的距离为.此时,将直线AC向右平移4个单位后所得直线(y=x-5)与抛物线的交点,即为所求之M点.
②由①可知,PQ=为定值,因此当NP+BQ取最小值时,有最大值.如答图2所示,作点B关于直线AC的对称点B′,由分析可知,当B′、Q、F(AB中点)三点共线时,NP+BQ最小,进而求出点Q的坐标.
试题解析:(1)由题意,得点B的坐标为(4,﹣1).
∵抛物线过A(0,﹣1),B(4,﹣1)两点,
∴,解得.
(2)①由(1)得抛物线的函数表达式为:.
∵A(0,﹣1),C(4,3),∴直线AC的解析式为:y=x﹣1.
设平移前抛物线的顶点为P0,则由(1)可得P0的坐标为(2,1),且P0在直线AC上.
∵点P在直线AC上滑动,∴可设P的坐标为(m,m﹣1).
则平移后抛物线的函数表达式为:.
解方程组:,解得,.
∴P(m,m﹣1),Q(m﹣2,m﹣3).
过点P作PE∥x轴,过点Q作QE∥y轴,则
PE=m﹣(m﹣2)=2,QE=(m﹣1)﹣(m﹣3)=2,
∴PQ==AP0.
当以M,P,Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时,点M到PQ的距离为(即为PQ的长),
由A(0,﹣1),B(4,﹣1),P0(2,1)可知,
△ABP0为等腰直角三角形,且BP0⊥AC,BP0=.
如答图1,过点B作直线l1∥AC,交抛物线于点M,则M为符合条件的点.
∴可设直线l1的解析式为:y=x+b1.
∵B(4,﹣1),∴﹣1=4+b1,解得b1=﹣5.∴直线l1的解析式为:y=x﹣5.
解方程组,得:,.
∴M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7).
②取点B关于AC的对称点B′,易得点B′的坐标为(0,3),BQ=B′Q.
如答图2,连接QF,FN,QB′,易得FN∥PQ,且FN=PQ,
∴四边形PQFN为平行四边形.
∴NP=FQ.
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′.
∴当B′、Q、F三点共线时,NP+BQ最小,则取最大值,
∴点Q的坐标为.
核心考点
试题【在平面直角坐标系中,已知抛物线 (b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,–1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.(1)】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求该抛物线对应的函数表达式;
(2)若P是抛物线上一点,且点P到抛物线的对称轴的距离为3,请直接写出点P的坐标.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线向下平移k个单位后经过点(-5,6)。
①求k的值及平移后抛物线所对应函数的最小值;
②设平移后抛物线与y轴交于点D,顶点为Q,点M是平移后的抛物线上的一个动点。请探究:当点M在何处时,△MBD的而积是△MPQ面积的2倍?求出此时点M的坐标。
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 |
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个位 |
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 |
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 |
A.2010 | B.2011 | C.2010 | D.2011 |
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