题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)经过B,C的直线l平移后与抛物线交于点M,与x轴交于点N,当以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求出点M的坐标;
(3)若点D在x轴上,在抛物线上是否存在点P,使得△PBD≌△PBC?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)解析式已存在,y=ax2+bx+4,我们只需要根据特点描述求出a,b即可.由对称轴为-,又过点A(-2,0),所以函数表达式易得.
(2)四边形为平行四边形,则必定对边平行且相等.因为已知MN∥BC,所以MN=BC,即M、N的位置如B、C位置关系,则可分2种情形,①N点在M点右下方,即M向下平行4个单位,向右2个单位与N重合;②M点在N右下方,即N向下平行4个单位,向右2个单位与M重合.因为M在抛物线,可设坐标为(x,-x2+x+4),易得N坐标.由N在x轴上,所以其纵坐标为0,则可得关于x的方程,进而求出x,求出M的坐标.
(3)使△PBD≌△PBC,易考虑∠CBD的平分线与抛物线的交点.确定平分线可因为BC=BD,可作等腰△BCD,利用三线合一,求其中线所在方程,进而与抛物线联立得方程组,解出P即可.
试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-2,0),
∴0=4a-2b+4,
∵对称轴是x=3,
∴-=3,即6a+b=0,
两关于a、b的方程联立解得 a=-,b=,
∴抛物线为y=-x2+x+4.
(2)∵四边形为平行四边形,且BC∥MN,
∴BC=MN.
①N点在M点右下方,即M向下平移4个单位,向右平移2个单位与N重合.
设M(x,-x2+x+4),则N(x+2,-x2+x),
∵N在x轴上,
∴-x2+x=0,
解得 x=0(M与C重合,舍去),或x=6,
∴xM=6,
∴M(6,4).
②M点在N右下方,即N向下平行4个单位,向右2个单位与M重合.
设M(x,- x2+x+4),则N(x-2,-x2+x+8),
∵N在x轴上,
∴-x2+x+8=0,
解得 x=3-,或x=3+,
∴xM=3-,或3+.
∴M(3-,-4)或(3+,-4)
综上所述,M的坐标为(6,4)或(3-,-4)或(3+,-4).
(3)∵OC=4,OB=3,
∴BC=5.
如果△PBD≌△PBC,那么BD=BC=5,
∵D在x轴上,
∴D为(-2,0)或(8,0).
①当D为(-2,0)时,连接CD,过B作直线BE平分∠DBC交CD于E,交抛物线于P1,P2,
此时△P1BC≌△P1BD,△P2BC≌△P2BD,
∵BC=BD,
∴E为CD的中点,即E(-1,2),
设过E(-1,2),B(3,0)的直线为y=kx+b,则,
解得,
∴BE:y=-x+.
设P(x,y),则有,
解得 ,或,
则P1(4+,),P2(4-,).
②当D为(8,0)时,连接CD,过B作直线BF平分∠DBC交CD于F,交抛物线于P3,P4,
此时△P3BC≌△P3BD,△P4BC≌△P4BD,
∵BC=BD,
∴F为CD的中点,即E(4,2),
设过E(4,2),B(3,0)的直线为y=kx+b,则,
解得 ,
∴BF:y=2x-6.
设P(x,y),则有,
解得 或 ,
则P3(-1+,-8+2),P4(-1-,-8-2).
综上所述,点P的坐标为(4+,)或(4-,)或(-1+,-8+2)或(-1-,-8-2).
【考点】二次函数综合题.
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A(-2,0),与y轴的交点为C,对称轴是x=3,对称轴与x轴交于点B.(1)求抛物线的函】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.y轴 | B.直线x=﹣1 | C.直线x=1 | D.直线x=﹣3 |
A.y=﹣2(x+1)2+2 | B.y=﹣2(x+1)2﹣2 |
C.y=﹣2(x﹣1)2+2 | D.y=﹣2(x﹣1)2﹣2 |
A.c>0 | B.2a+b=0 | C.b2﹣4ac>0 | D.a﹣b+c>0 |
A B C D
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
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