题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2）．
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案

（1）作CN⊥x轴于点N，
∵A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2），
∴OA=2，OB=1，CN=2，
∵∠CAB=90°，即∠CAN+∠BAO=90°，
又∵∠CAN+∠ACN=90°，
∴∠BAO=∠ACN，
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
∵

∠ACN=∠BAO ∠ANC=∠BOA=90° CA=AB

，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），
∴NC=OA=2，AN=BO=1，
∴NO=NA+AO=3，又点C在第二象限，
∴d=-3；

（2）设反比例函数为y=

k

x

（k≠0），点C′和B′在该比例函数图象上，
设C′（m，2），则B′（m+3，1），
把点C′和B′的坐标分别代入y=

k

x

，得k=2m；k=m+3，
∴2m=m+3，
解得：m=3，
则k=6，反比例函数解析式为y=

6

x

，点C′（3，2），B′（6，1），
设直线C′B′的解析式为y=ax+b（a≠0），
把C′、B′两点坐标代入得：

3a+b=2 6a+b=1

，
∴解得：

a=- 1 3 b=3

；
∴直线C′B′的解析式为y=-

1

3

x+3；


（3）存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形，理由为：
设Q是GC′的中点，令y=-

1

3

x+3中x=0，得到y=3，
∴G（0，3），又C′（3，2），
∴Q（

3

2

，

5

2

），
过点Q作直线l与x轴交于M′点，与y=

6

x

的图象交于P′点，
若四边形P′GM′C′是平行四边形，则有P′Q=QM′，
易知点M′的横坐标大于

3

2

，点P′的横坐标小于

3

2

，
作P′H⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，
∵QF∥P′E，
∴∠M′QF=∠QP′E，
在△P′EQ和△QFM′中，
∵

∠P′EQ=∠QFM′ ∠QP′E=∠M′QF P′Q=QM′

，
∴△P′EQ≌△QFM′（AAS），
∴EQ=FM′，P′Q=QM′，
设EQ=FM′=t，
∴点P′的横坐标x=

3

2

-t，点P′的纵坐标y=2•y_Q=5，点M′的坐标是（

3

2

+t，0），
∴P′在反比例函数图象上，即5（

3

2

-t）=6，
解得：t=

3

10

，
∴P′（

6

5

，5），M′（

9

5

，0），
则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M．