题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知A，B两点的坐标分别为A(0，2)，B(2，0)直线AB与反比例函数的图像交与点C和点D（－1，）．

(1)求直线AB和反比例函数的解析式；
(2)求∠ACO的度数；
(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．

答案

（1），（2） （3）当α为60度时OC′⊥AB，此时线段AB′的长为2

解析

试题分析：(1)设直线AB的解析式为，
将A(0，2)，B(2，0)代入解析式中，得
，解得。
∴直线AB的解析式为。

将D（－1，）代入得，。
∴点D坐标为（－1，）。
将D（－1，）代入中得，。
∴反比例函数的解析式为。
(2)解方程组得，。
∴点C坐标为（3，），
过点C作CM⊥轴于点M，则在Rt△OMC中，
，，∴，∴。
在Rt△AOB中，=，∴。
∴∠ACO=。
(3)如图，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，

∴= ∠COC′=90°－30°=60°，∠BOB′==60°。
∴∠AOB′=90°－∠BOB′=30°。
∵∠OAB=90°－∠ABO=30°，∴∠AOB′=∠OAB，
∴AB′= OB′=2．
答：当α为60度时OC′⊥AB，此时线段AB′的长为2。
点评：本题考查求函数解析式、三角函数，要求考生会用待定系数法求函数的解析式，掌握三角函数的定义，会用三角函数解题