题目

题型：福建省期末题难度：来源：

已知直线与轴x交于点A（-4，0），与y轴交于点B。
（1）求b的值；
（2）把△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，点A落在y轴的A′处，点B若在x轴的B′处。
①求直线A′B′的函数关系式；
②设直线AB与直线A′B′交于点C，矩形PQMN是△AB′C的内接矩形，其中点P，Q在线段上，点M在线段AB′上，点N在线段AC上。若矩形PQMN的两条邻边的比为1∶2，试求矩形PQMN的周长。

答案

解：（1）把A（-4，0）代入，得 b=2。（2）①，令，得，∴B（0，2），
由旋转性质可知 ，，，
∴A′（0，4），B′（2，0），
设直线A′B′的解析式为，
可得：，解得：，
∴直线A′B′的解析式为；
②∵点N在AC上，
∴设N（，）（），
∵四边形PQMN为矩形，
∴NP=MQ=，
ⅰ）当PN：PQ=1∶2时，
 PQ=2PN=，
∴a（x+4+x，0），M（，），
∵点M在B′C上，
∴，
解得，
此时，，PQ=，
∴矩形PQMN的周长为；
ⅱ）当PN∶PQ=2∶1时，
 PQ=PN=，
∴Q（，0），M（，），
∵点M在B′C上，
∴，
解得：x=0，
此时PN=2，PQ=1，
∴矩形PQMN的周长为2（2+1）=6，
 综上所述，当PN∶PQ=1∶2时，矩形PQMN的周长为8；
当PQ∶PN =1∶2时，矩形PQMN的周长为6。