题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函y=x-1数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x-1的零点。
己知函数y=x²-2mx-2（m+3）（m为常数）。
（1）当m=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为x₁和x₂，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线y=x-10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式。

答案

解：（1）当m=0时，该函数为，令y=0，可得，
∴当m=0时，求该函数的零点为和-；
（2）令y=0，得△=，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根，即无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）依题意有，,
由得，即，解得，
∴函数的解析式为，
令y=0，解得，
∵点A在点B左侧，
∴A（-2，0），B（4，0），
作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连结AB′，则AB′与直线y=x-10足条件的M点，
易求得直线y=x-10与x轴、y轴点分别为C（10，0），D（0，10），
连结CB′，则∠BCD=45°，
∴BC=CB′=6，∠B′CD=∠BCD=45°，
∴∠BCB′=90°，
即B′（10，-6），
设直线AB′的解析式为，
则，
解得
∴直线AB′的解析式为，即AM的解析式为。