题目

题型：云南省中考真题难度：来源：

如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D。

（1）求点G的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q得坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵DC是AB垂直平分线，OA垂直AB，
∴G点为OB的中点
∵
∴。（2）过点C作CH⊥x轴于点H
在Rt△ABO中，∠ABO=30°，
∴
即
又∵CD垂直平分AB
∴BC=2，
在Rt△CBH中，CH=BC=1，
∴
∴
∵∠DGO=60°
∴
∴
∴D（0，4）
设直线CD的解析式为：y=kx+b
则
解得
∴。（3）存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形
①如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形
设QP交x轴于点E，在Rt△OEP中，OP=4，∠OPE=30°
∴OE=2，
∴②如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形，
延长QP交x轴于点F，在Rt△POF中，OP=4，∠FPO=30°
∴
∴
∴③如图，当PD=DQ=QO=OP=时，四边形DOPQ为菱形，
在Rt△DQM中，∠MDQ=30°，
∴
∴。④如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形，
设PQ交x轴于点N，此时∠OQP=∠ODQ=30°
在Rt△ONQ中，
∴
∴
综上所述，满足条件的点Q共有四点：，（，-2）。