题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图，已知直线y=-m（x-4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C，过A作x轴的垂线AT，Ｍ是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P，连结CN、CM。
（1）证明：∠MCN=90°；
（2）设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式；
（3）若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积。

答案

解（1）∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径， 　　
∴AT、OM是⊙C的切线，
又∵MN切⊙C于点P，
∴∠CMN=∠OMN，∠CNM=∠ANM，
∵OM∥AN，
∴∠ANM+∠OMN=180°，
∴∠CMN+∠CNM =∠OMN+∠ANM=（∠OMN+∠ANM ）=90°，
∴∠CMN=90°；
（2）由（1）可知：∠1+∠2 = 90 °，而∠2 +∠3=90°，
∴∠1 =∠3；
∴Rt△MOC∽Rt△CAN，　　
∴，
∵直线y=-m（x-4）交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（4，0），
∴AC=CO=2，
∵OM=x，AN=y，
∵，
∴y=；
（3）∵OM=1，
∴AN=y= 4，
此时S四边形ANMO=10，
∵直线AB平分梯形ANMO的面积，
∴△ANF的面积为5，
过点F作FG⊥AN于G，则FG·AN=5，
∴FG=，
∴点F的横坐标为4-=，
∵M（0，1），N（4，4），
∴直线MN的解析式为y=x+1，
∵F点在直线MN上，
∴F点的纵坐标为y=，
∴ F（）　　
∵点F又在直线y=-m（x-4）上
∴=-m（-4）
∴m=。