题目

题型：淮安难度：来源：

已知：两个正整数的和与积相等，求这两个正整数．
不妨设这两个正整数为a、b，且a≤b．
由题意，得ab=a+b，（*）
则ab=a+b≤b+b=2b，所以a≤2，
因为a为正整数，所以a=1或2，
①当a=1时，代入等式（*），得1•b=1+b，b不存在；
②当a=2时，代入等式（*），得2•b=2+b，b=2．
所以这两个正整数为2和2．
仔细阅读以上材料，根据阅读材料的启示，思考是否存在三个正整数，它们的和与积相等试说明你的理由．

答案

假设存在三个正整数，它们的和与积相等，
不妨设这三个正整数为a、b、c，且a≤b≤c，则abc=a+b+c（※）
所以abc=a+b+c≤c+c+c=3c，所以ab≤3，
若a≥2，则b≥a≥2，所以ab≥4，与ab≤3矛盾．
因此a=1，b=1或2或3，
①当a=1，b=1时，代入等式（※）得1+1+c=1•1•c，c不存在．
②当a=1，b=2时，代入等式（※）得1+2+c=1•2•c，c=3．
③当a=1，b=3时，代入等式（※）得1+3+c=1•3•c，c=2，与b≤c矛盾，舍去．
所以a=1，b=2，c=3，因此假设成立，即存在三个正整数，它们的和与积相等．