题目

题型：同步题难度：来源：

问题提出：   
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小. 而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”：就是通过作差、变形. 并利用差的符号来确定它们的大小，即耍比较代数式 M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N>0，则M>N；若M-N=0，则M=N；若M-N<0；则 M<N.    
问题解决：    
如图①.把边长为 a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是 a、b 的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和 M与两个矩形面积之和N 的大小.类比应用：
(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克、元/千克(a·b是正数.且a≠b)，试比较小丽和小颖所购商品的平均价格的高低.   
(2)试比技图②、图③两个矩形的周长 M, 、N, 的大小(b>c).

答案

解： 由因可知，M=a² +b²，N=2ab，
∴M-N= a² +b² -2ab- (a-b)²    
∴a≠b
∴(a-b)²>0，..M-N>0，
∴M>N
类比应用：
(1)
∵a，b是正数，且 a≠b，
 
 
即小丽的平均价格比小额的高.    
(2)由图知，M₁= 2(a+b+b+c)=2a +4b+2c , N₁ = 2 (a - c+ b+ 3c) = 2a+ 2b+4c.   
 M₁ - N₁ = (2a+ 4b+ 2c) - (2a + 2b+ 4c) =2b- 2c=2 (b- c)     
∵ b> c,
∴ 2 ( b - c) > 0, M₁ - N₁> 0 , M₁>N₁.   
 所以第一个矩形的周长大于第二个矩形的周长.    
联系拓广    
设题中图⑤的捆绑绳长为 l₁，
则l₁ = 2a×2+2b×2+ 4c×2 = 4a + 4b+ 8c    
设题中图⑥的捆绑绳长为 l₂，
则 l₂ =2a×2+2b×2 + 2c×2= 4a+ 4b+ 4c   
 设题中图⑦的捆绑绳长为 l₃，则 1₃ = 3a×2+2b×2+ 3c×2= 6a+ 4b+ 6c    
l₁ - l₂ = ( 4a + 4b + 8c) - ( 4a + 4b + 4c ) =4c>0    
∴l₁> l₂ .     l₂ - l₃ = ( 6a+4b+ 6c) - (4a + 4b+ 4c)= 2a +2c>0    
∴l₃>1₂.     l₃ - l₁= (6a+4b+ 6c) - (4a + 4b+ 8c) = 2a -2c = 2(a-c)    
∴a>c，
∴2(a-c)>0
即 1₃-l₁>0，l₃>l₁     
∴第三种捆绑方法用绳最长. 第二种最短.