题目

题型：河南省期中题难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，BC=24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止，已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x²cm。
（1）当x为何值时，以P、N两点重合？
（2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由；
（3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形。

答案

解：（1）当点P与点N重合时，
由x²+2x=24，
得x₁=4、x₂=-6（舍去），
所以x=4时点P与点N重合；
（2）当点Q与点M重合时，
由x+3x=24，得x=6，
此时DN=x²=36≥24，不符合题意，
故点Q与点M不能重合；
（3）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，
由24-（x+3x）=24-（2x+x²），
解得x₁=0（舍去），x₂=2；
当x=2时四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，由24-（x+3x）=（2x+x²）-24，
解得（舍去）；
当x=-3+ 时四边形NQMP是平行四边形；
综上：当x=2或x=-3+时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形。