题目

题型：解答题难度：一般来源：嘉兴

已知方程a（2x+a）=x（1-x）的两个实数根为x₁，x₂，设S=

x1

+

x2

．
（1）当a=-2时，求S的值；
（2）当a取什么整数时，S的值为1；
（3）是否存在负数a，使S²的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

（1）当a=-2时，原方程化为x²-5x+4=0．
解得x₁=4，x₂=1．
∴S=2+1=3．
（2）S=

x1

+

x2

，s²=x₁+x₂+2

x1x2

．
∴a（2x+a）=x（1-x）．
整理得：x²+（2a-1）x+a²=0．
当x²+（2a-1）x+a²=0时△≥0．
∴（2a-1）²-4a²≥0．
解得a≤0.25．
∵x₁+x₂=1-2a，x₁×x₂=a²．
S²=x₁+x₂+2

x1x2

=1-2a+2|a|=1．
当a≥0，1-2a+2a=1，有1=1．
当a＜0时，1-2a-2a=1，有a=0（不合设定，舍去）．
当0≤a≤0.25时，S的值为1．
∵a为整数，
∴a=0时，S的值为1．
（3）S²=x₁+x₂+2

x1x2

=1-2a+2|a|≥25．
∴只有当a＜0时，有1-2a-2a≥25．
解得a≤-6．
∴a≤-6时，S²的值不小于25．