题目

题型：不详难度：来源：

若a，b，c，d是实数且ac=2（b+d），求证：方程x²+ax+b=0 ①和方程x²+cx+d=0 ②中至少有一个方程有实根．

答案

方程x²+ax+b=0 ①的判别式为△₁=a²-4b，
方程x²+cx+d=0②的判别式为△₂=c²-4d，
所以△₁+△₂=a²-4b+c²-4d=a²+c²-4d-4b=a²+c²-4（d+b），
而ac=2（b+d），
∴△₁+△₂=a²+c²-2ac=（a-c）²≥0，
∴△₁和△₂中至少有一个正数，
∴方程x²+ax+b=0 ①和方程x²+cx+d=0 ②中至少有一个方程有实根．