题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知：关于x的一元二次方程ax²+2（a-3）x+a+3=0有两个实数根，且a为非负整数。
（1）求a的值；
（2）若抛物线y=ax²+2（a-3）x+a+3向下平移m（m>0）个单位后过点 （1，n） 和点（2，2n+1），求m的值；
（3）若抛物线y=ax²+2（a-3）x+a+3上存在两个不同的点P、Q关于原点对称，求k的取值范围。

答案

解：（1）依题意，得△=[2（a-3）]²-4a（a+3）=-36a+36≥0，
解得a≤1，
又a≠0且a为非负整数，
∴a=1，
∴y=x²-4x+4；
（2）抛物线y=x²-4x+4过点（1，1），（2，0），向下平移m（m＞0）个单位后得到点（1，n）和点（2，2n+1），
∴
解得m=3；
（3）设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），
∵P、Q在抛物线y=x²-4x+4+k上，
将P、Q两点坐标分别代入得：，
将两方程相加得：2x₀²+8+2k=0，即x₀²+4+k=0，
∵△′=-4（4+k）≥0，
∴k≤-4，
当k=-4时，P、Q两点重合，不合题意舍去，
∴k＜-4。