题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知关于x的一元二次方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0
（1）试判断上述方程根的情况；
（2）若以上述方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值；
（3）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根，BC的长为5．
①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形?
②当k为何值时，△ABC是等腰三角形?请求出此时△ABC的周长．

答案

（1）有两个不相等的实数根；（2）；（3）①2或3；②k=3或4，周长为14和16

解析

试题分析：（1）先由题意求得根的判别式△的值，即可作出判断；
（2）设方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0的两个根为，，根据题意得．又由一元二次方程根与系数的关系得，，从而可得，再根据二次函数的性质即可求得结果；                      
（3）①由题意可得x₁="k" +1，x₂=k+2．不妨设AB=k+1，AC=k+2．再根据勾股定理即可列方程求解；                                       
②分AC=BC=5与AB=BC=5两种情况，结合等腰三角形的性质求解即可.
（1）由方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0，得b²4ac=1，方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0的两个根为，，根据题意得．
又由一元二次方程根与系数的关系得， 
，                               
所以，当k＝时,m取得最小值；                      
（3）①x₁="k" +1，x₂=k+2．不妨设AB=k+1，AC=k+2．
斜边BC=5时，有AB²+AC²=BC²，即(k+1)²+(k+2)²=25                                                   
解得k₁=2，k₂=5(舍去)                                
当k="2" 时，△ABC是直角三角形；                         
②AB=k+1，AC=k+2，BC=5,  
由（1）知AB≠AC          
故有两种情况：
（Ⅰ）当AC=BC=5时，k+2=5，k=3．
∵5、5、4能组成三角形，
△ABC的周长为5+5+k+1=14        
（Ⅱ）当AB=BC=5时，k+1=5，k=4．
∵5、5、6能组成三角形，
△ABC的周长为5+5+k+2=16．
故△ABC的周长分别是14和16．
点评：解题的关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．