题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

求证：如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①，有一组整数解x₀，y₀，则此方程的一切整数解可以表示为

x=x0-bt y=y0+at

，其中t=0，±1，±2，±3，…．

答案

证明：因为x₀，y₀是方程①的整数解，当然满足ax₀+by₀=c，②
因此a（x₀-bt）+b（y₀+at）=ax₀+by₀=c．
这表明x=x₀-bt，y=y₀+at也是方程①的解．
设x′，y′是方程①的任一整数解，则有
ax′+by′=c．③
③-②得
a（x′-x₀）=b′（y₀-y′）．④
∵a，b是互质的正整数即（a，b）=1，
∴即y′=y₀+at，其中t是整数．将y′=y₀+at代入④，即得x′=x₀-bt．
∴x′，y′可以表示成x=x₀-bt，y=y₀+at的形式，
∴x=x₀-bt，y=y₀+at表示方程①的一切整数解．