题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设a=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+

1+ 1 32 + 1 42

+…+

1+ 1 20002 + 1 20012

，问与a最接近的整数是多少？

答案

∵n为任意的正整数，
∴

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+n2+(n+1)2 [n(n+1)]2

=

[n(n+1)]2+2n(n+1)+1 [n(n+1)]2

=

(n2+n+1)2 [n(n+1)]2

=

n2+n+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

，
∴a=(1+

1

1×2

)+(1+

1

2×3

)+(1+

1

3×4

)+…+（1+

1

2000×2001

）
=2000+

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2000×2001

=2000+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+(

1

2000

-

1

2001

)=2001-

1

2001

．
因此，与a最接近的整数是2001．