题目

题型：解答题难度：一般来源：山西

阅读下列材料：
关于x的方程：x+

1

x

=c+

1

c

的解是x₁=c，x2=

1

c

；x-

1

x

=c-

1

c

（即x+

-1

x

=c+

-1

c

）的解是x₁=cx2=-

1

c

；x+

2

x

=c+

2

c

的解是x₁=c，x2=

2

c

；x+

3

x

=c+

3

c

的解是x₁=c，x2=

3

c

；…
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+

m

x

=c+

m

c

(m≠0)与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：x+

2

x-1

=a+

2

a-1

．

答案

（1）猜想x+

m

x

=c+

m

c

(m≠0)的解是x₁=c，x₂=

m

c

．
验证：当x=c时，方程左边=c+

m

c

，方程右边=c+

m

c

，
∴方程成立；
当x=

m

c

时，方程左边=

m

c

+c，方程右边=c+

m

c

，
∴方程成立；
∴x+

m

x

=c+

m

c

(m≠0)的解是x₁=c，x₂=

m

c

；

（2）由x+

2

x-1

=a+

2

a-1

得x-1+

2

x-1

=a-1+

2

a-1

，
∴x-1=a-1，x-1=

2

a-1

，
∴x₁=a，x₂=

a+1

a-1

．