题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知关于x的一元二次方程（a-1）x²-（2a-3）x+a=0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）设x₁，x₂是一元二次方程（a-1）x²-（2a-3）x+a=0的两个根，且x₁²+x₂²=9，求a的值．

答案

（1）当a-1=0即a=1时，方程不是一元二次方程；
当a≠1时，由△=b²-4ac≥0，得（2a-3）²-4a（a-1）≥0，
解得a≤

9

8

，
∵a-1≠0，∴a≠1，
则a的取值范围是a≤

9

8

且a≠1，
（2）∵x₁，x₂是一元二次方程（a-1）x²-（2a-3）x+a=0的两个根，
∴x₁+x₂=

2a-3

a-1

，
x₁x₂=

a

a-1

．
又∵x₁²+x₂²=9，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9．
（

2a-3

a-1

）²-2×

a

a-1

=9．
整理，得7a²-8a=0，
a（7a-8）=0．
∴a₁=0，a₂=

8

7

（舍去）．
经检验0是方程的根．故a=0．