题目

题型：解答题难度：一般来源：上海

已知关于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0（m＞0）
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；
（2）如果这个方程的两个实数根分别为x₁，x₂，且（x₁-3）（x₂-3）=5m，求m的值．

答案

（1）判别式△=（2m-1）²-4m（m-2）
=4m²-4m+1-4m²+8m
=4m+1
∵m＞0
∴4m+1＞0
所以方程有两个不相等的实数根．

（2）由韦达定理得
x₁+x₂=

2m-1

m

x₁x₂=

m-2

m

所以（x₁-3）（x₂-3）=5m
x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=5m

m-2

m

-3×

2m-1

m

+9=5m
两边同时乘以m并化简
m-2-6m+3+9m=5m²
5m²-4m-1=0
（5m+1）（m-1）=0
解得m=1或m=-

1

5

（舍去）
经检验m=1是方程的根．
所以m的值是1．