题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设n个正整数a₁，a₂，…，a_n，（其中n＞1），如果满足：

a1+a2+…+an=k 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an =1

，则称k是一个“好数”．
如：

2+2=4 1 2 + 1 2 =1

，

2+3+6=11 1 2 + 1 3 + 1 6 =1

，

2+4+6+12=24 1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 12 =1

，因此4、11、24这三个数都是一个好数．
（1）请你举一个“好数”的例子，并说明理由．
（2）如果k是“好数”，2k+2是“好数”吗？为什么？

答案

（1）30为一个“好数”，理由为：

2+3+10+15=30 1 2 + 1 3 + 1 10 + 1 15 =1

，
因此30为一个“好数”；

（2）如果k是“好数”，则有：

a1+a2+…+an=k 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an =1

，
则2a₁+2a₂+…+2a_n+2=2k+2，
则

1

2a1

+

1

2a2

+…+

1

2an

+

1

2

=

1

2

+

1

2

=1，
故2k+2也是“好数”．