题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

阅读下列材料：
∵

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)；

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)；

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)；

1

2003×2005

=

1

2

(

1

2003

-

1

2005

)
…
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2003×2005

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2003

-

1

2005

)
解答下列问题：
（1）在和式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中，第5项为______，第n项为______，上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两个数之差，使得首末两项外的中间各项可以______，从而达到求和目的．
（2）利用上述结论计算

1

x(x+2)

+

1

(x+2)(x+4)

+

1

(x+4)(x+6)

+…+

1

(x+2004)(x+2006)

．

答案

（1）通过观察规律得知这些式子的分子都为1，第n项加式的分母为（2n-1）（2n+1），
∴第5项为

1

9×11

第n项为

1

(2n-1)(2n+1)

，使得首末两项外的中间各项可以化为0，从而求解．

（2）原式=

1

2

(

1

x

-

1

x+2

)+

1

2

(

1

x+2

-

1

x+4

)+…+

1

2

(

1

x+2004

-

1

x+2006

)
=

1

2

(

1

x

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+4

…+

1

x+2004

-

1

x+2006

)
=

1

2

(

1

x

-

1

x+2006

)
=

1003

x(x+2006)

．