题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

观察下列各式：
（x²-1）÷（x-1）=x+1
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1
（x⁵-1）÷（x-1）=x⁴+x³+x²+x+1
…
（1）写出（x⁶-1）÷（x-1）的结果；
（2）将x⁶-1表示成两个多项式乘积的形式．

答案

（1）∵（x²-1）÷（x-1）=x+1，
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1，
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1，
（x⁵-1）÷（x-1）=x⁴+x³+x²+x+1，
∴（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+…+1，
∴（x⁶-1）÷（x-1）=x⁵+x⁴+x³+x²+x+1；

（2）∵（x⁶-1）÷（x-1）=x⁵+x⁴+x³+x²+x+1，
∴x⁶-1=（x-1）（x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）．