题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

阅读以下内容：（x-1）（x+1）=x²-1，（x-1）（x²+x+1）=x³-1，（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，根据上面的规律得（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=______（n为正整数）；根据这一规律，计算：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁰+2²⁰¹¹=______．

答案

（x-1）（x+1）=x²-1，
（x-1）（x²+x+1）=x³-1，
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，
…
规律为左边都有（x-1）和关于x的多项式，常数项和每项系数均为1；
右边多项式的次数比左边多项式的次数大1．
故（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1．
根据规律：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁰+2²¹¹¹=（2²⁰¹²-1）÷（2-1）=2²⁰¹²-1．
故答案为：xⁿ-1，2²⁰¹²-1．