题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码数之和不小于32，请你说明理由．

答案

见解析

解析

解：设在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a₁，a₂，a₃，…，a₁₈，a₁₉，
显然a₁=1，而a₂，a₃，…，a₁₈，a₁₉就是2，3，4，5，6，…，18，19的一个排列．
令A₁=a₂+a₃+a₄；
A₂=a₅+a₆+a₇；
A₃=a₈+a₉+a₁₀；
A₄=a₁₁+a₁₂+a₁₃；
A₅=a₁₄+a₁₅+a₁₆；
A₆=a₁₇+a₁₈+a₁₉；
则A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆=a₂+a₃+a₄+…+a₁₇+a₁₈+a₁₉=2+3+4+…+17+18+19=189（*）．
如果A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆中每一个都≤31，则有A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆≤6×31=186，与（*）式矛盾．
所以A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆中至少有一个大于31．为确定起见，不妨就是A₁＞31，即a₂+a₃+a₄＞31，但a₂+a₃+a₄是整数，
所以必有a₂+a₃+a₄≥32成立．
所以，一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和不小于32．
由已知，1～19号运动员随意地站成一个圆圈，求出6组有顺次相邻的某3名运动员的号码的和，从每组都小于等于31，得6组的和与计算出6组的和矛盾确定一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和不小于32．