题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n．

答案

由于2²，3²，5²，7²，11²，13²，17²，19²，23²，29²，31²，37²，41²，43²这14个合数都小于2009且两两互质，
因此n≥15．
而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数a₁，a₂，…，a₁₅的最小素因子p₁，p₂，p₁₅，
则必有一个素数≥47，不失一般性设p₁₅≥47，
由于p₁₅是合数a₁₅的最小素因子，
因此a₁₅≥p₁₅²≥47＞2009，矛盾．
因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数．
综上所述，n最小是15．
故答案为：15．