题目

在△ABC中，若A=60°，BC=

3

，则△ABC周长的最大值为______．

提问时间：2022-03-13

答案

∵在△ABC中，A=60°，BC=

3

，
∴由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA，
即3=AB²+AC²-2AB•ACcos60°，化简得（AB+AC）²=3+3AB•AC
∵AB•AC≤[

1

2

（AB+AC）]²，
∴（AB+AC）²≤3+

1

4

（AB+AC）²，解得（AB+AC）²≤12，
由此可得AB+AC≤2

3

，△ABC周长AB+AC+BC≤3

3

即当且仅当AB=AC=

3

时，△ABC周长的最大值为3

3

，
故答案为：3

3

根据余弦定理，算出（AB+AC）²=3+3AB•AC，再利用基本不等式AB•AC≤[

1

2

（AB+AC）]²加以计算，可得AB+AC≤2

3

，即可得到△ABC周长的最大值为3

3

．

本题考点：余弦定理；基本不等式．

考点点评：本题给出三角形的一边和它的对角，求周长的最大值．着重考查了用余弦定理解三角形和基本不等式求最值等知识，属于中档题．