题目

已知函数f （x）=2x³-3（2+a²）x²+6（1+a²）x+1（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f （x）在R上单调，求a的值；
（Ⅱ）若函数f （x）在区间[0，2]上的最大值是5，求a的取值范围．

提问时间：2022-01-09

答案

（Ⅰ）f′（x）=6x2-6（2+a2）x+6（1+a2）=6（x-1）（x-1-a2），因为函数f（x）在R上单调，所以1=1+a2，即a=0．（6分）（Ⅱ）因为1≤1+a2，所以{f（x）}max={f（1），f（2）}max={3a2+3，5}max=5，即3a2+3≤5，解此...

（I）先求函数的导数，再由函数f （x）在R上单调知其导数恒为非负值，从而方程（x-1）（x-1-a²）=0的根相等，即可求得a的值；
（II）由（I）知函数f （x）在区间[0，1]上是增函数，在区间[1，1+a²]上是减函数，在区间[1+a²，2]上是增函数，故函数f （x）在区间[0，2]上的最大值是f（1），f（2）中的较大者，从而得到一个不等式求得a的取值范围即可．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查函数的单调性、最值等基本性质、导数的应用等基础知识，同时考查抽象概括能力和运算求解能力．