题目

如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE=60°．
（1）若D在BC上（如图1）求证CD+CE=CA；

（2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．

提问时间：2022-01-08

答案

（1）证明：在AC上取点F，使CF=CD，连接DF．
∵∠ACB=60°，
∴△DCF为等边三角形．
∴∠3+∠4=∠4+∠5=60°．
∴∠3=∠5．
∵∠1+∠ADE=∠2+∠ACE，
∴∠1=∠2．
在△ADF和△EDC中，

∠1=∠2 ∠3=∠5 DF=DC

，
∴△ADF≌△EDC（AAS）．
∴CE=AF．
∴CD+CE=CF+AF=CA．
（2） CD、CE、CA满足CE+CA=CD；
证明：
在CA延长线上取CF=CD，连接DF．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∵CF=CD，
∴△FCD为等边三角形．
∵∠1+∠2=60°，
∵∠ADE=∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3．
在△DFA和△DCE中

∠F=∠DCE DF=CD ∠1=∠3

，
∴△DFA≌△DCE（ASA）．
∴AF=CE．
∴CE+CA=FA+CA=CF=CD．
注：证法（二）以CD为边向下作等边三角形，可证．
证法（三）过点D分别向CA、CE作垂线，也可证．

（1）实际上也就是求两条线段相等，在AC上取一点F，使CF=CD，然后求证△ADF≌△EDC即可．
（2）归根究底仍是求两条线段的问题，通过求证全等，最终得出几条边之间的关系．

本题考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．