题目

已知实数a，b∈R⁺，a+b=1，M=2^a+2^b，则M的整数部分是（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

提问时间：2021-12-28

答案

∵a，b∈R⁺，a+b=1，
∴b=1-a，
∴M=2^a+2^b=，2^a+

2

2a

，a∈（0，1）
令t=2^a，a∈（0，1），则t∈（1，2），M=t+

2

t

，t∈（1，2）．
∵M=t+

2

t

在（1，

2

]上单调递减，在[

2

，2）上单调递增，
∴M_min=

2

+

2

2

=2

2

，当t=1或t=2，M=3，
∴2

2

≤M＜3．
故选B．

由a，b∈R⁺，a+b=1，M=2^a+2^b，可将M=2^a+2^b，转化为：M=2^a+

2

2a

，根据a∈（0，1）可求得M的取值范围，从而可求得M的整数部分，继而得到答案．

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题考查函数的单调性与最值，难点在于对“双钩函数M=t+

2

t

（由于t∈（1，2），在这里是“单钩“）”性质的掌握与应用，属于中档题．