题目

lim (1-e^tan x)/arc tan x/2
X趋向于0
怎么换到lim tan x /(x/2)

提问时间：2021-12-18

答案

解析：我们利用的主要还是e^x和arctanx的展开式.
我们知道：e^x=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!.
所以e^tanx的展开式为：
e^tanx=1+tanx+[(tanx)^2]/2!+[(tanx)^3]/3!+...
当x→0时,tanx→0,忽略高阶无穷小量后,得到：
e^tanx=1+tanx
同理,可分析arctan(x/2)的情况.
我们知道：arctanx=x-(x^3)/3+(x^5)/5-(x^7)/7+...
所以：arctan(x/2)=(x/2)-[(x/2)^3]/3+...
当x→0时,arctan(x/2)→0,忽略高阶无穷小量后,得到：
arctan(x/2)=x/2
所以照如上的分析可知：
lim(1-e^tanx)/arctan(x/2)=-limtanx/(x/2)(x→0)
这样就换到了你想要的结果,接下来用洛比达法则或其他方法就可以求解了,