题目

已知函数f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）求不等式f（x）＜6的解集；
（2）若关于x的方程f（x）=|a-2|有解，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-12-18

答案

（1）原不等式等价于x＜−1−(x+1)−(x−3)＜6或−1≤x≤3(x+1)−(x−3)＜6或x＞3(x+1)+(x−3)＜6＜0…（3分）解得-2＜x＜-1或-1≤x≤3或3＜x＜4，故原不等式的解集为{x|-2＜x＜4}．…（5分）（2）∵f（x）=|x+1|+|x...

（1）原不等式等价于

x＜−1 −(x+1)−(x−3)＜6

或

−1≤x≤3 (x+1)−(x−3)＜6

或

x＞3 (x+1)+(x−3)＜6

＜0，分别解每一个不等式，最后取其并集即可；
（2）利用绝对值不等式可得f（x）=|x+1|+|x-3|≥|x+1-x-3|=4，依题意，解不等式|a-2|≥4即可求得实数a的取值范围．

本题考点：绝对值不等式的解法．

考点点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查解不等式的能力，属于中档题．