题目

在△ABC中，BC=5，M和I分别为△ABC的重心与内心，若MI∥BC，则AB+AC=______．

提问时间：2021-12-16

答案

连接AM并延长交BC于点D，连接AI并延长交BC与点F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，则IE为内切圆I的半径，设IE=r．∵IM∥BC，∴IEAH=DMAD=13，即AH=3r．∵s△ABC=12BC•AH=12（AB+BC+CA）•r，故12BC•3r=12（AB+BC+CA）•r，...

首先连接AM并延长交BC于点D，连接AI并延长交BC与点F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，则IE为内切圆I的半径．根据三角形重心的性质及相似三角形的性质易得到

IE

AH

=

DM

AD

=

1

3

，即AH=3r．再利用三角形的面积计算公式s△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

（AB+BC+CA）•r，故

1

2

BC•3r=

1

2

（AB+BC+CA）•r，即2BC=AB+CA即可得出答案．

本题考点：三角形的内切圆与内心；三角形的重心．

考点点评：本题考查了三角形的五心．本题综合性较强，考查知识点较深，是竞赛类题目的首选，解决本题的关键是掌握三角形五心的性质．